المحتوى

• مراحل
• الطريقة الأولى استخدم السعر كأساس
• الطريقة الثانية استخدام "e" كقاعدة

في هذه المقالة: استخدام المعدل كقاعدة استخدام "e" كأساس

الدوال الأسية تجعل من الممكن حساب العديد من الظواهر مع تطور مهم. يتم استخدامه لنمذجة الزيادات السكانية ، للتنبؤ بانخفاض النشاط الإشعاعي ، وانتشار هذه البكتريا أو تلك ، والسلوك المستقبلي للأسواق المالية ، إلخ. في هذه المقالة ، سنناقش طريقتين للتعبير عن وظيفة الأس من خلال معرفة القيمة الأولية للظاهرة ومعدل نموها في البداية فقط.

مراحل

الطريقة الأولى استخدم السعر كأساس

1. خذ مثالا. قمت بإيداع 1000 يورو في حساب مصرفي يدفع 3 ٪ سنويا. العثور على معادلة الأسية التي تشير إلى تطور هذه العاصمة مع مرور الوقت.

2. 
   

   
   معرفة شكل وظيفة الأس. يمكن أن يكون في النموذج: f (t) = P₀(1 + ص) ، والتي P₀ هي القيمة الأولية ، تي، متغير الوقت ، صمعدل التغيير و ح، وحدة من الوقت بالتعاون مع ر.

3. 
   

   
   اصنع التطبيق الرقمي. أعط إلى P₀ و ص القيم الخاصة بكل منهما. تصبح الوظيفة بعد ذلك: f (t) = 1000 (1.03).

4. 
   

   
   
   
   البحث ح. تذكر المعادلة الخاصة بك. تكسب فائدة 3٪ كل عام ، أو إذا كنت تفضل ذلك ، كل 12 شهرًا. إذا تم تحديد وقت الموضع (t) بالأشهر ، قسّم t على 12. لهذا السبب ، هنا ، h = 12. تبدو الوظيفة كما يلي: f (t) = 1000 (1.03). إذا كانت الوحدات الزمنية للمعدل (r) ووقت التنسيب (t) متطابقة ، فإن h تساوي 1.

الطريقة الثانية استخدام "e" كقاعدة

1. 
   

   
   فهم ما هو "ه". إذا كنت تأخذ "e" كقاعدة ، فإنك تستخدم ما يسمى "قاعدة طبيعية" ، وتسمى أيضًا "ثابت Neper". استخدامه يجعل من الممكن استنتاج النمو الأسي المستمر مباشرة من المعادلة.

2. 
   

   
   خذ مثالا. لديك عينة من 500 جرام من نظير الكربون ، والتي من المعروف أن عمرها النصفي يبلغ 50 عامًا ، وهو الوقت الذي يستغرقه فقدان نصف كتلته.

3. 
   

   
   
   
   معرفة شكل آخر للدالة الأسية. يمكن أن يكون أيضًا بالشكل: f (t) = ae ، وفيه الى هي القيمة الأولية ، البريد، القاعدة، ك، يستمر النمو الهائل و تيمتغير الزمن.

4. 
   

   
   استبدال القيمة الأولية. هذه هي القيمة الثابتة الوحيدة التي أعطيت لنا منذ البداية. أدخله في المعادلة ، التي تعطي: f (t) = 500e.

5. 
   

   
   العثور على استمرار النمو الأسي. يعطي هذا المعدل مؤشراً على سرعة تطوير الوظيفة ، للأعلى والأسفل. هذه السرعة مرئية على المنحنى: المنحدر أكثر أو أقل حدة. إذا أخذنا مثالنا ، فنحن نعرف أنه خلال 50 عامًا ، تفقد العينة نصف كتلتها ، أو 250 جم. يمكن اعتبار هذا التاريخ البالغ 50 عامًا أحد نقاط الرسم البياني ، والذي يسمح لك بوصف: t = 50. ضع هذه القيمة في الوظيفة. نعلم أن f (50) = 500e ، ولكن أيضًا f (50) = 250. إذا دمجنا المعادلتين ، نحصل على المعادلة الأسية التالية: 250 = 500e. يبقى فقط لحلها. قسّم كل جانب على 500 ، مما يعطي: 1/2 = e. نأخذ اللوغاريتم الطبيعي (الوظيفة العكسية للمفردات) للعضوين ونحصل على: ln (1/2) = ln (e). إنها خاصية اللوغاريتم التي تنص على أن ln (e) = xln (e). طبقًا للمعادلة الخاصة بنا ، تتيح لنا هذه الخاصية وصف: ln (1/2) = 50k (ln (e)). يمكننا كتابة "ln" (سجل neperian) أو "log" (السجل الطبيعي). هناك خاصية أخرى لوغاريتمات تثبت أن سجل القاعدة يساوي 1 ، أي: ln (e) = 1. يمكن تلخيص المعادلة كـ: ln (1/2) = 50k. قسّم كل جانب على 50 ، مما يعطي: k = (ln (1/2)) / 50. مع آلة حاسبة ستجد ما يلي: ln (1/2) = -0،693147181. مقسوما على 50 ، نجد أن k تساوي -0.01386. ستلاحظ أن هذه الإجابة سلبية. إذا كان النمو سالبًا ، كما هو الحال هنا ، فهذا يعني أن لديك انخفاضًا كبيرًا (العينة تفقد مجموعتها). إذا كان النمو إيجابيا ، فهذا يعني أن لديك ارتفاعًا كبيرًا.

6. 
   

   
   استبدل k بقيمتها. وظيفة نصف العمر هي: f (t) = 500e.

نصيحة

• إذا كان لديك الكثير من العمليات الحسابية التي تتعلق بعملك ، وتحتاج إلى دقة كبيرة ، فلديك كل الاهتمام ، لتوفير الوقت أيضًا ، لوضع k في الذاكرة. سوف تدخل قيمتها بالضبط مع جميع الكسور العشرية. إنه إجراء احترازي إذا كنت تريد أن يرسم جهازك منحنى الوظيفة: لا تستخدم "x" لتعيين k. في الواقع ، إذا قمت بذلك ، فستجد معادلة دالة خاطئة. الاحتياطي ، على سبيل المثال ، "س" ل ر.
• مع الممارسة ، سترى بسرعة أي من الطريقتين هي الطريقة التي تقترضها. في أغلب الأحيان ، نأخذ الأول ، لكن في بعض المشاكل ، من الأفضل استخدام الثاني ، الحساب مع "e" ، الحسابات أسهل وأسرع.