المحتوى

• خطوات
• نصائح

نظام المعادلات هو مجموعة من معادلتين أو أكثر تشترك في مجموعة من المجهول ، وبالتالي ، حل مشترك. بالنسبة إلى المعادلات الخطية ، الممثلة بيانياً بالخطوط ، يكون حل النظام هو نقطة تقاطع الخطوط. يمكن أن تكون المصفوفات مفيدة لإعادة كتابة وحل الأنظمة الخطية.

خطوات

جزء 1 من 2: فهم الأساسيات

1. 

   افهم المصطلحات. المعادلات الخطية لها مكونات مميزة. المتغير هو رمز (عادةً ما يكون حرفًا مثل x أو y) لرقم لا تعرفه بالفعل. الثابت هو رقم لا يغير قيمته. المعامل هو الرقم الذي يأتي قبل المتغير ، ويستخدم لضربه.
   • على سبيل المثال ، في المعادلة الخطية 2x + 4y = 8 ، x و y متغيرات. الثابت هو 8. الأعداد 2 و 4 معاملات.

2. 

   
   
   يتعرف على شكل نظام المعادلات. يمكن كتابة نظام المعادلات ذات المتغيرين على النحو التالي: ax + by = p ، cx + dy = q يمكن أن يكون أي من الثوابت (p ، q) صفرًا ، بشرط أن يكون لكل معادلة على الأقل ناقص متغير واحد (س ، ص).

3. 

   افهم مصفوفة المعادلات. عندما يكون لديك نظام خطي ، يمكنك استخدام مصفوفة لإعادة كتابتها ثم استخدام الخصائص الجبرية للمصفوفة لحلها. لإعادة كتابة نظام خطي ، استخدم A لتمثيل مصفوفة المعاملات ، و C لتمثيل مصفوفة الثوابت و X مصفوفة (أو متجه) المجهول.
   • النظام الخطي أعلاه ، على سبيل المثال ، يمكن إعادة كتابته كمعادلة مصفوفة على النحو التالي: AX = C.

4. 

   
   
   افهم المصفوفات المعززة. المصفوفة المعززة هي مصفوفة يتم الحصول عليها عن طريق إضافة أعمدة من مصفوفتين. إذا كان لديك مصفوفتان ، A و C ، يمكنك إنشاء مصفوفة مكبرة عن طريق تجميعها معًا. ستبدو المصفوفة المعززة كما يلي:
   • على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك النظام الخطي التالي:
     2 س + 4 ص = 8
     س + ص = 2
     ستكون المصفوفة المكبرة مصفوفة 2 × 3 تبدو كما يلي:

جزء 2 من 2: تحويل المصفوفة المعززة لحل النظام

1. 

   
   
   فهم العمليات الأولية. يمكنك إجراء عمليات معينة على مصفوفة لتحويلها ، مع الاحتفاظ بها معادلة للمصفوفة الأصلية. تسمى هذه العمليات العمليات الأولية. لحل مصفوفة 2 × 3 ، على سبيل المثال ، يمكنك استخدام عمليات الخط الأولي لتحويل المصفوفة إلى مصفوفة مثلثة. تشمل العمليات الأولية:
   • مبادلة سطرين.
   • اضرب خطًا في رقم آخر غير الصفر.
   • اضرب سطرًا ثم أضفه إلى سطر آخر.

2. 

   اضرب السطر الثاني في رقم آخر غير الصفر. الفكرة هي إظهار صفر في السطر الثاني ، لذا اضربه حتى يحدث.
   • على سبيل المثال ، لنفترض أن لديك مصفوفة على النحو التالي:
     
     
     يمكنك الاحتفاظ بالسطر الأول واستخدامه لإنتاج صفر في السطر الثاني. للقيام بذلك ، اضرب أولاً السطر الثاني في اثنين ، كما يلي:

3. 

   اضرب مرة أخرى. للحصول على صفر في السطر الثاني ، قد تحتاج إلى ضرب الخط مرة أخرى باستخدام نفس المبدأ.
   • في المثال أعلاه ، اضرب السطر الثاني في -1 ، كما يلي:
     
     
     عند إتمام الضرب ، ستبدو المصفوفة الجديدة كما يلي:

4. 

   أضف السطر الأول إلى السطر الثاني. ثم أضف السطر الأول والثاني للحصول على صفر في العمود الأول من السطر الثاني.
   • في المثال أعلاه ، أضف السطرين كما يلي:

5. 

   لاحظ النظام الخطي الجديد للمصفوفة المثلثية. في هذه المرحلة ، لديك مصفوفة مثلثة. يمكنك استخدام هذه المصفوفة للحصول على نظام خطي جديد. العمود الأول يتوافق مع x المجهول ، والعمود الثاني مع المجهول y. يتوافق العمود الثالث مع الثابت في المعادلة.
   • لذلك ، على سبيل المثال أعلاه ، سيبدو نظامك الجديد كما يلي:

6. 

   قم بحل أحد المتغيرات. باستخدام نظامك الجديد ، حدد المتغير الذي يمكن تحديده بسهولة وحلها.
   • في المثال أعلاه ، يفضل حل المعادلة الأخيرة ثم العودة إلى الأولى للعثور على القيمة غير المعروفة. توفر المعادلة الثانية حلاً سهلاً لـ y ؛ بمجرد إزالة x ، يمكنك أن ترى أن y = 2.

7. 

   عوّض لحل المتغير الثاني. بمجرد تحديد أحد المتغيرات ، يمكنك استبدال قيمته في المعادلة الأخرى لحل المتغير الآخر.
   • في المثال أعلاه ، استبدل y بـ 2 في المعادلة الأولى لإيجاد قيمة x ، على النحو التالي:

نصائح

• تسمى العناصر المرتبة في مصفوفة بشكل عام بالكميات.
• تذكر أنه لحل مصفوفة 2 × 3 ، يجب عليك استخدام عمليات الخط الأولي. لا يمكنك استخدام عمليات العمود الأولي.