المحتوى

• خطوات
• نصائح

بالنسبة لأولئك الذين يعانون من صعوبات في الرياضيات ، يمكن أن تسبب رؤية رمز الجذر التربيعي قشعريرة. ومع ذلك ، فإن المشاكل التي تنطوي على هذا المشغل ليست صعبة كما تظهر. في بعض الأحيان ، يمكن أن تكون مسائل الجذر التربيعي البسيطة سهلة مثل الضرب أو القسمة البسيطة. من ناحية أخرى ، يمكن أن تتطلب المشاكل الأكثر تعقيدًا المزيد من العمل. ومع ذلك ، مع النهج الصحيح ، ستبدو جميعها سهلة. ابدأ في ممارسة مسائل الجذر التربيعي الآن وتعلم مهارة الرياضيات الجديدة هذه أصولي!

خطوات

جزء 1 من 3: فهم مفهوم الجذور التربيعية والمربعة

1. 

   قبل فهم الجذور التربيعية ، افهم أولاً ما هو مربع العدد. إنها سهلة لتفهم. لتربيع رقم ، اضربه في نفسه. على سبيل المثال ، 3 تربيع هي نفسها 3 × 3 = 9 ، و 9 تربيع هي نفسها 9 × 9 = 81. يُشار إلى المربعات بـ "2" صغيرة في الجانب الأيمن العلوي من الرقم المراد رفعه ، مثل هذا: 3 ، 9 ، 100 وهكذا.
   • لممارسة هذا المفهوم ، حاول تربيع بعض الأرقام الإضافية. تذكر أن تربيع رقم هو ببساطة ضربه في نفسه. يمكنك القيام بذلك حتى بالأرقام السالبة ، لكن تذكر أنه في هذه الحالة ستكون الإجابة إيجابية دائمًا. على سبيل المثال ، -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   لإيجاد الجذر التربيعي ، أوجد "معكوس" التقوية. رمز الجذر (√ ، يُطلق عليه أيضًا "الراديكالي") يعني أساسًا "عكس" الرمز. عندما ترى جذريًا ، اسأل نفسك ، "ما هو الرقم الذي يمكنني ضربه في نفسه بحيث تكون النتيجة هي الرقم داخل الجذر؟" على سبيل المثال ، عندما ترى √ (9) ، حاول العثور على الرقم الذي ، تربيع ، يساوي تسعة ، وفي هذه الحالة ستكون الإجابة ثلاثةلأن 3 = 9.
   • مثال آخر: لنجد الجذر التربيعي لـ 25 (√ (25)). هذا يعني أننا نحتاج إلى إيجاد العدد الذي ، تربيع ، يساوي 25. بما أن 5 = 5 × 5 = 25 ، يمكننا القول أن √ (25) = 5.
   • يمكنك أيضًا التفكير في هذه العملية على أنها طريقة "للتراجع" عن ارتفاع مربع. على سبيل المثال ، إذا أردنا إيجاد √ (64) ، الجذر التربيعي لـ 64 ، يجب أن نفكر في 64 على أنها 8. نظرًا لأن الجذر التربيعي "يلغي" مربع الارتفاع ، يمكننا القول أن √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   افهم الفرق بين الأعداد المربعة الكاملة والأرقام المربعة غير الكاملة. حتى الآن ، كانت إجابات مسائل الجذر التربيعي هي الأعداد الصحيحة. لن يحدث دائما في الواقع ، يمكن أن تؤدي نتيجة عملية الإشعاع في بعض الأحيان إلى كسور عشرية طويلة ومعقدة. إذا كان جذر الرقم عددًا صحيحًا ، أي إذا لم يكن كسرًا أو عشريًا ، فسيتم استدعاؤه مربع ممتاز. جميع الأمثلة الموضحة أعلاه (9 و 25 و 64) هي مربعات كاملة لأن جذورها أعداد صحيحة (3 و 5 و 8 على التوالي).
   • من ناحية أخرى ، يتم استدعاء الأرقام التي لا تكون جذورها كاملة المربعات غير الكاملة. عند حساب جذر أحد هذه الأرقام ، سنحصل على نتيجة تكون عادةً كسرًا أو عشريًا. في بعض الأحيان ، يمكن أن تكون الكسور العشرية المعنية معقدة للغاية ، كما في المثال: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   احفظ أول 12 مربعًا كاملًا على الأقل. كما أوضحنا ، فإن حساب الجذر التربيعي لرقم ما يمكن أن يكون سهلاً للغاية! لذلك من المهم أن تأخذ الوقت الكافي لحفظ الجذور التربيعية لأول عشرة مربعات كاملة. تميل إلى الظهور كثيرًا في الاختبارات ، لذا فإن حفظها يمكن أن يوفر لك الكثير من الوقت. أول 12 مربعات مثالية هي:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   إذا أمكن ، بسّط الجذور بإزالة المربعات الكاملة. قد يكون العثور على الجذر التربيعي للمربعات غير الكاملة أمرًا صعبًا للغاية ، خاصة إذا لم تكن هناك آلة حاسبة متاحة (في الأقسام أدناه ، ستتعلم الحيل لتبسيط العملية). ومع ذلك ، من الممكن في بعض الأحيان تبسيط الأرقام داخل الجذر لتسهيل العمليات الحسابية. ما عليك سوى قسمة الرقم الموجود داخل الجذر إلى عوامل ، ثم حساب جذر العوامل التي تكون مربعات كاملة وكتابة الإجابة خارج الجذر. هذا أسهل مما يبدو. انظر أدناه لفهم أفضل!
   • لنفترض أنك بحاجة إلى إيجاد جذر 900. في البداية ، يبدو أنها مهمة صعبة للغاية! كل شيء يكون أسهل بكثير إذا قسمنا الـ 900 إلى عوامل. عوامل العدد "x" هي مجموعة من الأرقام التي ، إذا تم ضربها ، ينتج عنها "x". على سبيل المثال ، يمكننا الحصول على 6 بضرب 1 × 6 و 2 × 3 ، لذا فإن عوامل العدد 6 هي 1 و 2 و 3 و 6.
   • بدلاً من العمل مع 900 ، والذي قد يكون غريبًا بعض الشيء ، دعنا نكتبه على أنه 9 × 100. الآن ، بما أن الرقم 9 ، وهو مربع كامل ، مفصول عن 100 ، يمكننا حساب جذره التربيعي. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). أي √ (900) = 3√(100).
   • لا يزال بإمكاننا التبسيط مرتين أخريين ، بقسمة 100 إلى العوامل 25 و 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. لذلك يمكننا القول أن √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   استخدم الأعداد التخيلية لحساب جذر الأعداد السالبة. اسأل نفسك ، أي رقم مضروبًا في نفسه ينتج -16؟ إنها ليست 4 أو -4 ، لأن مربع هذين العددين هو 16. هل يجب أن نستسلم؟ في الواقع ، لا توجد طريقة لكتابة الجذر التربيعي لـ -16 أو أي رقم سالب آخر باستخدام أرقام حقيقية فقط. في مثل هذه الحالات ، يجب أن نستخدم أرقامًا تخيلية (عادةً في شكل أحرف أو رموز) لتحل محل الجذر التربيعي لرقم سالب. المتغير "i" ، على سبيل المثال ، يستخدم للدلالة على الجذر التربيعي لـ -1. كقاعدة عامة ، سيكون جذر الرقم السالب دائمًا (أو على الأقل يتضمن) رقمًا وهميًا.
   • تذكر أنه على الرغم من أنه لا يمكن تمثيل الأرقام التخيلية بأرقام حقيقية ، فلا يزال من الممكن التعامل معها على هذا النحو من بعض النواحي. على سبيل المثال ، جذر عدد سالب "-x" ، إذا تربيع ، ينتج أيضًا "-x" ، تمامًا مثل أي جذر آخر. هذا هو ، أنا = -1

جزء 2 من 3: استخدام أساليب شبيهة بالقسمة المطولة

1. 

   تعامل مع مسألة الجذر التربيعي كما لو كانت قسمة مطولة. يمكنك إيجاد الجذر التربيعي لأرقام مربعة معقدة غير كاملة دون استخدام الآلة الحاسبة ، على الرغم من كونها شاقة بعض الشيء. الطريقة (أو الخوارزمية) مشابهة (ولكنها ليست نفسها) لطريقة القسمة المطولة. القسمة المطولة هي الطريقة التقليدية المستخدمة لحساب القسمة يدويًا.
   • ابدأ بالوضعية الأولية للمشكلة ، والتي ستكون مشابهة للقسمة المطولة. على سبيل المثال ، لنفترض أنك بحاجة إلى إيجاد جذر 6.45 ، وهو بالتأكيد ليس مربعًا كاملًا. أولاً ، نكتب رمز الجذر التربيعي (√) ثم نضع الرقم بداخله. بعد ذلك ، يجب أن نرسم خطًا من الرمز √ حتى يغطي العدد الصحيح ، ونتركه داخل مربع مشابه للمربع الذي يوجد فيه مقسم القسمة المطولة. الفرق هو أن الإجابة هنا ستكون أعلى هذا المربع وليس أسفله كما في التقسيم التقليدي. عندما ننتهي ، سيكون لدينا علامة "√" مستطيلة تغطي الرقم الكامل 6.45.
   • لنكتب أرقامًا في هذا المربع ، لذا اترك مساحة.

2. 

   اجمع الأرقام في أزواج. لبدء حل المشكلة ، قم بتجميع أرقام الرقم داخل الجذع في أزواج ، بدءًا من الفاصلة العشرية. يمكنك عمل علامات صغيرة (مثل النقاط ، والأشرطة ، والفواصل ، وما إلى ذلك) بين الأزواج للفصل بينهم.
   • في مثالنا ، يجب أن نقسم 6.45 إلى ثلاثة أزواج ، على النحو التالي: 6-,45-00. لاحظ أن هناك رقمًا واحدًا أقل على الجانب الأيسر ، فلا مشكلة في ذلك.

3. 

   أوجد أكبر رقم يكون مربعه أقل من أو يساوي قيمة "المجموعة" الأولى. ابدأ بالزوج الأول من الأرقام على الجانب الأيسر. اختر أكبر رقم يكون مربعه أقل من أو يساوي "المجموعة". على سبيل المثال ، إذا كانت المجموعة 37 ، اختر 6 ، لأن 6 = 36 <37 ولكن 7 = 49> 37. اكتب هذا الرقم فوق المجموعة الأولى. هذا هو الرقم الأول من الإجابة.
   • في مثالنا ، المجموعة الأولى في 6- ، 45-00 هي 6. أول أكبر عدد يكون مربعه أقل من أو يساوي 6 هو 2، لأن 2 = 4. اكتب "2" على 6 داخل الجذر.

4. 

   انظر إلى الرقم الأول من الإجابة (الرقم الذي وجدناه للتو) واضربه في اثنين. الآن ، اكتب النتيجة أسفل المجموعة الأولى وقم بإجراء عملية طرح لإيجاد الفرق. ثم ، قم بالتمرير لأسفل الزوج التالي من الأرقام ، وإضافتهما إلى الفرق الذي وجدناه للتو. أخيرًا ، اكتب الرقم الأخير ضعف الرقم الأول من الإجابة على الجانب الأيسر واترك فراغًا بجانبه.
   • في مثالنا ، ستكون الخطوة الأولى هي إيجاد مضاعف 2 ، وهو الرقم الأول من الإجابة. 2 × 2 = 4. بعد ذلك ، يجب أن نطرح 4 من 6 ("مجموعتنا" الأولى) ، للحصول على 2 كإجابة. الآن ، نحتاج إلى النزول إلى المجموعة التالية (45) لنحصل على 245. أخيرًا ، نكتب 4 مرة أخرى على اليسار ، مع ترك مساحة فارغة صغيرة على الجانب الأيمن ، على النحو التالي: 4_.

5. 

   املاء الفراغ. الآن ، علينا وضع رقم بدلاً من المساحة الفارغة بجوار الرقم الذي نكتبه على اليسار. اختر الرقم الذي ، عند ضربه بالرقم الموجود على اليسار مع استبدال المساحة الفارغة بنفسه ، يكون له قيمة قصوى ، ولكنه أقل من الرقم الموجود في الجانب الأيمن. قد يبدو هذا معقدًا بعض الشيء ، لذلك دعونا نرى بعض الأمثلة لفهمها. إذا كان الرقم الذي انخفض ، أي الرقم الموجود على الجانب الأيمن ، هو 1700 والرقم الموجود على اليمين هو 40_ ، فسنملأ الفراغ بالرقم 4 ، لأن 404 × 4 = 1616 <1700 و 405 × 5 = 2025 سيكون الرقم الموجود في هذه الخطوة هو الرقم الثاني من الإجابة ، لذا يمكنك إضافته فوق رمز الجذر.
   • في مثالنا ، نحتاج إلى إيجاد الرقم لملء الفراغ في 4_ × _ الذي يجعل الإجابة أكبر ما يمكن ، ولكن أقل من أو يساوي 245. في حالتنا ، الإجابة هي 5لأن 45 × 5 = 225 و 46 × 6 = 276.

6. 

   استمر في استخدام الأرقام التي تملأ الفراغات لتكوين الإجابة. استمر في طريقة القسمة المطولة المعدلة هذه حتى تبدأ في الحصول على الأصفار بطرح الرقم الذي ينحدر من الجذر أو حتى تصل إلى مستوى الدقة المطلوب. عند الانتهاء ، ستشكل الأرقام المستخدمة لملء الفراغات في كل خطوة (وبالطبع الرقم الأول الذي نستخدمه) أرقام الإجابة.
   • بالاستمرار في مثالنا ، سنطرح 225 من 245 لنحصل على 20. وبعد ذلك ، سننزل زوج الأرقام 00 لنحصل على 2000. بمضاعفة الأرقام فوق الجذر ، يكون لدينا 25 × 2 = 50. بتعيين الرقم الفارغ على 50_ × _ = /> 2000 ، نحصل عليه 3. في هذه المرحلة ، لدينا "253" حول الراديكالي. بتكرار العملية مرة أخرى ، نحصل على 9 كالرقم التالي.

7. 

   ضع الفاصلة في الموضع الصحيح في الإجابة. لإنهاء الإجابة ، ما زلنا بحاجة إلى وضع العلامة العشرية في المكان الصحيح. هذا الجزء سهل: فقط ضع الفاصلة في الإجابة في نفس موضع الفاصلة في الرقم داخل الجذر. على سبيل المثال ، إذا كان الرقم داخل الجذر هو 49.8 ، فقط ضع الفاصلة في الإجابة في المكان المقابل للرقم أدناه ، أي بين العددين فوق 9 و 8.
   • في مثالنا ، العدد داخل الجذر هو 6.45. للحصول على الإجابة ، ضع الفاصلة بين الرقمين فوق 6 و 4 ، وهما في هذه الحالة 2 و 5 ، على التوالي ، للحصول على الإجابة: 2,539.

جزء 3 من 3: تقدير المربعات غير الكاملة بسرعة

1. 

   ابحث عن الجواب من خلال تقدير. بمجرد أن تعرف جذر بعض المربعات الكاملة ، سيكون إيجاد جذر المربعات غير الكاملة أسهل كثيرًا. في خطوة سابقة ، نوصي بحفظ أول اثني عشر مربعًا كاملاً وجذورها على الأقل. الخبر السار هو أنه يمكننا استخدام التقدير للحصول على تقريب لجذر مربع غير كامل يقع بين مربعين كاملين نعرفهما. لذلك ، نحتاج إلى إيجاد أول مربع كامل أكبر من الرقم المطلوب وآخر أصغر ، بحيث يكون الرقم المعني بين الاثنين. بعد ذلك ، علينا محاولة معرفة أي من هذين المربعين الكاملين أقرب جذر العدد المطلوب منه.
   • على سبيل المثال ، افترض أننا بحاجة إلى إيجاد الجذر التربيعي لـ 40. نظرًا لأننا نحفظ المربعات الكاملة ، يمكننا القول أن 40 يقع بين 6 و 7 ، أي بين 36 و 49. نظرًا لأن 40 أكبر من 6 ، فسيكون الجذر التربيعي الخاص بك هو أكبر من 6. وبالمثل ، نظرًا لأنه أقل من 7 ، فإن جذره سيكون أقل من 7. 40 أقرب قليلاً من 36 من 49 ، لذلك من المحتمل أن تكون إجابتنا أقرب إلى 6. في الخطوات التالية ، سنزيد دقة تقديرنا.

2. 

   قم بزيادة الدقة إلى منزلة عشرية واحدة. بمجرد العثور على المربعات المثالية المتتالية التي تشكل نطاقًا يحتوي على رقمك ، حاول فقط زيادة دقة التقدير إلى النقطة التي تعتقد أنها مرضية. كلما تم إجراء المزيد من المحاولات لتحسين التقدير ، زادت الدقة. للبدء ، قم بتقدير قيمة أول منزلة عشرية. لا يجب أن يكون هذا التقدير صحيحًا ، ولكن استخدام المنطق لاختيار قيمة من المحتمل أن تكون أقرب إلى الإجابة سيسهل العملية.
   • في مثالنا ، يمكن أن يكون التقدير المقبول للجذر التربيعي لـ 40 هو 6,4، لأننا نعلم بالفعل أن الإجابة ربما تكون أقرب قليلاً إلى 6 من 7.

3. 

   اضرب التقدير في نفسه. ما لم تكن محظوظًا جدًا ، فلن تكون النتيجة رقم البداية (40 ، في مثالنا). ستحتاج إلى تعديل التقدير للاقتراب من الإجابة الصحيحة.إذا كانت النتيجة أعلى من رقم البداية (أي أعلى من 40) ، جرب تقديرًا أقل. وبالمثل ، إذا كانت النتيجة أقل من الرقم المطلوب ، فقم بزيادة التقدير.
   • اضرب 6.4 في نفسه لتحصل على 6.4 × 6.4 = 40,96، وهو أعلى قليلاً من الرقم الأولي.
   • الآن ، نظرًا لأن تقديرنا كان أعلى بقليل من القيمة الصحيحة ، فلنقللها بمقدار عشر واحد لنحصل على 6.3 × 6.3 = 39,69. الآن كانت النتيجة أقل بقليل من الرقم الأصلي. هذا يعني أن جذر 40 هو عدد ما بين 6.3 و 6.4. علاوة على ذلك ، نظرًا لأن 39.69 أقرب إلى 40 من 40.96 ، فإننا نعلم أن الجذر سيكون أقرب إلى 6.3 وليس 6.4.

4. 

   استمر في تحسين التقدير إذا لزم الأمر. في هذه المرحلة ، إذا كنت راضيًا عن الإجابة ، فاستخدم أحد التقديرات التقريبية الأولى كتقدير. ومع ذلك ، إذا كنت بحاجة إلى إجابة أكثر دقة ، فحاول فقط تقدير المكان العشري الثاني، واختيار قيمة بين السابقتين (أي بين 6.3 و 6.4). باستخدام هذه الطريقة ، يمكننا تقدير ثلاث منازل عشرية ، أربعة وخمسة وما إلى ذلك ، اعتمادًا فقط على الدقة المطلوبة للإجابة.
   • في مثالنا ، يمكننا اختيار 6.33 لجعل التقدير لأقرب منزلتين عشريتين. اضرب 6.33 في نفسه لتحصل على 6.33 × 6.33 = 40.0689. نظرًا لأن هذه النتيجة كانت أعلى قليلاً من الرقم الأولي ، يمكننا اختيار قيمة أقل قليلاً ، مثل 6.32. في هذه الحالة ، 6.32 × 6.32 = 39.9424 ، نتيجة أقل بقليل من رقم البداية. لذلك ، يمكننا أن نستنتج أن الجذر الدقيق للرقم 40 هو بين 6.32 و 6.33. إذا لزم الأمر ، يمكننا متابعة هذه الطريقة للحصول على تقديرات تقريبية دقيقة بشكل متزايد لجذر الرقم المطلوب.

نصائح

• إذا كنت بحاجة إلى حل سريع ، فاستخدم الآلة الحاسبة. يمكن لمعظم الآلات الحاسبة الحديثة حساب الجذور التربيعية على الفور. بشكل عام ، ما عليك سوى كتابة أي رقم والضغط على الزر الذي يحمل رمز الجذر التربيعي. للعثور على جذر 841 ، على سبيل المثال ، فقط اضغط على 8 ، 4 ، 1 ثم (√) للحصول على الإجابة: 39.