المحتوى

• خطوات
• نصائح
• تحذيرات

قبل وصول الآلة الحاسبة ، كان على الطلاب والمعلمين حساب الجذور التربيعية يدويًا. تطورت عدة طرق للتعامل بشكل أفضل مع هذه العملية المخيفة ، بعضها يجلب تقديرات تقريبية والبعض الآخر قيمة أكثر دقة. لمعرفة كيفية حساب جذر تربيعي يدويًا باستخدام عمليات بسيطة ، اقرأ ملف الخطوة 1 لتبدأ.

خطوات

طريقة 1 من 2: استخدام التحليل الأولي

1. 

   اقسم الرقم على عوامل التربيع الكاملة. تستخدم هذه الطريقة عوامل العدد لحساب الجذر التربيعي (اعتمادًا على القيمة ، قد تكون إجابة دقيقة أو مقدرة). أنت عوامل من عدد أي مجموعة أخرى تتكاثر لتحقيق ذلك. يمكنك أن تقول ، على سبيل المثال ، ما هي العوامل ولماذا. المربعات الكاملة ، من ناحية أخرى ، هي أعداد صحيحة ناتجة عن الضرب بين الأعداد الصحيحة الأخرى. القيم ، على سبيل المثال ، هي مربعات كاملة لأنه يمكن تمثيلها بـ ، و ، على التوالي. العوامل المربعة الكاملة ، كما قد تتخيل ، هي أيضًا مربعات كاملة. للبدء في إيجاد الجذر التربيعي من خلال التحليل الأولي ، قلل القيم إلى العوامل التربيعية الكاملة.
   • في أحد الأمثلة ، سيكون عليك حساب الجذر التربيعي لليد. للبدء ، قسّم القيمة على عوامل التربيع الكاملة. نظرًا لأنه مضاعف لـ ، فلا يزال من المعروف أنه قابل للقسمة على - مربع كامل. ستجعلك القسمة الذهنية السريعة ترى أنها تتناسب مع عدد مرات ، والتي من قبيل المصادفة أنها مربع كامل أيضًا. لذلك ، فإن عوامل المربع الكاملة للإرادة هي ولماذا.
   • ستتم كتابة المرحلة الأولى من التمرين على النحو التالي:

2. 

   
   
   احسب الجذور التربيعية للعوامل التربيعية الكاملة. تنص خاصية حاصل ضرب الجذر التربيعي على أنه لأي قيم وبيانات. لهذا السبب ، أصبح من الممكن الآن استخراج الجذور التربيعية للعوامل وضربها للوصول إلى الإجابة.
   • في المثال المعني ، سيتم استخراج الجذور التربيعية لـ و سيتم استخراجها على النحو التالي:

3. 

   
   
   قم بتقليل القيمة الناتجة إلى أبسط شروطها ، إذا لم يكن من الممكن تحليلها بشكل مثالي. من الناحية العملية ، من غير المحتمل أن تكون الأرقام مثالية ودقيقة مع العوامل التي تعتبر أيضًا مربعات كاملة (مثل). في مثل هذه الحالات ، قد لا يكون من الممكن التوصل إلى إجابة كاملة دقيقة. بدلاً من ذلك ، بتحديد العوامل التي قد تكون مربعات كاملة ، يمكنك حساب الإجابة بناءً على جذر تربيعي أصغر وأبسط وأسهل في العمل. ما عليك سوى تقليل العدد إلى مجموعة العوامل التي تعتبر مربعات مثالية مع عوامل أخرى ليست كذلك. ثم قم بتبسيط النتيجة.
   • افترض أن الجذر التربيعي لـ يُستخدم كمثال. هذا الرقم ليس ناتجًا عن مربعين كاملين ، لذلك لا يمكن الوصول إلى قيمة عدد صحيح كما في الحالة السابقة. ومع ذلك ، فهو حاصل الضرب بين مربع كامل ورقم آخر - e. سيتم استخدام هذه البيانات للتقدم في البحث عن الإجابة بأبسط العبارات ، على النحو التالي:

4. 

   
   
   إذا لزم الأمر ، قم بعمل تقديرات. باستخدام الجذر التربيعي في أبسط مصطلحاته ، من الأسهل تقدير الاستجابة العددية عن طريق تحديد قيمة الجذور التربيعية المتبقية وضرب القيم المناسبة. تتمثل إحدى طرق توجيه نفسك خلال هذه التقديرات في إيجاد المربعات الكاملة بجوار الرقم في الجذر التربيعي. ستعرف أن الخانات العشرية لهذا الرقم ستكون بين هاتين القيمتين ، وبالتالي ، سيكون من الأسهل تحديد ما هو موجود بينهما.
   • بالعودة إلى المثال وكونك e ، يمكنك أن ترى أنه يقع بين e - وربما أقرب إلى الرقم الأكبر. عند التقدير ستجد ذلك. ما عليك سوى التحقق من العملية بمساعدة آلة حاسبة وستلاحظ أنك اقتربت جدًا من الإجابة الصحيحة ().
     • يعمل هذا أيضًا بأعداد أكبر. من الممكن ، على سبيل المثال ، تقدير أنه يقع بين و (ربما يكون أقرب إلى الرقم الأكبر). إذا كانت e وبين كلتا القيمتين ، فمن المحتمل أن يكون جذرها التربيعي أيضًا بين و. مع الأخذ في الاعتبار أنها على بعد خطوة صغيرة ، يمكنك بثقة أن تعلن أن الجذر التربيعي الخاص بك موجود هكذا أقل من القيمة. عند إجراء الحساب على الآلة الحاسبة ، تصل إلى النتيجة - كان الافتراض صحيحًا.

5. 

   أولاً ، قلل الرقم إلى الحدود الدنيا المتعددة المشتركة. ليس من الضروري إيجاد عوامل مربعات كاملة إذا كنت قادرًا على تحديد العوامل الأولية لعدد (أي أيضًا أعداد أولية). اكتب القيمة المعنية بناءً على الحد الأدنى المشترك للمضاعفات. بعد ذلك ، ابحث عن أزواج من الأعداد الأولية تتطابق مع بعضها البعض. عندما تجد خيارين يفيان بهذه المتطلبات ، أخرجهما من الجذر التربيعي ومكانهما أ منهم في الخارج.
   • كمثال ، حاول إيجاد الجذر التربيعي لـ بهذه الطريقة. ومن المعروف أن وذاك. ولهذا يمكن كتابة الجذر التربيعي بدلالة عوامله: فقط خذ الحاضرين داخل الجذر وضع أحدهما في الخارج للوصول إلى أبسط الحدود: من هنا ، من السهل التقدير.
   • كمثال أخير ، حاول حساب الجذر التربيعي لـ:
     • 
       يوجد هنا عدة قيم داخل الجذر التربيعي - نظرًا لأنه عدد أولي ، فقط خذ أحد الأزواج وضع إحدى الوحدات في الخارج.
     • نتيجة لذلك ، سيكون الجذر التربيعي في أبسط شروطه هو أو. من هنا ، يمكنك تقدير قيم وإذا كنت ترغب في ذلك.

الطريقة 2 من 2: حساب الجذور التربيعية يدويًا

1. 

   أولاً ، افصل المسافات عن الرقم في أزواج. تستخدم هذه الطريقة عملية مشابهة للقسمة المطولة لحساب الجذر التربيعي بالضبط، بيت واحد في كل مرة. على الرغم من أنها ليست مهمة ، فقد تجد أن العملية أسهل عندما يتم تنظيمها بصريًا ويتم تقسيم الرقم إلى أجزاء. أول شيء يجب فعله هو رسم خط عمودي يفصل مساحة العمل إلى منطقتين ، ثم عمل خط أفقي أصغر بالقرب من أعلى اليمين حتى يكون هناك قسم صغير في الأعلى وآخر كبير في الأسفل. الآن ، افصل المسافات عن الرقم في أزواج تبدأ بالفاصلة: باتباع هذه القاعدة ، على سبيل المثال ، يصبح. اكتب القيمة أعلى الفراغ الأيسر.
   • في أحد الأمثلة ، حاول حساب الجذر التربيعي لـ. اصنع سطرين لتقسيم منطقة العمل كما في الحالة السابقة واكتب في الجزء العلوي من المساحة اليسرى ، ولا تقلق إذا كان هناك رقم واحد فقط على اليسار بدلاً من زوج. يجب أن تكتب الإجابة () في المنطقة اليمنى العليا.

2. 

   تعرف على أكبر عدد صحيح مربعه أقل من أو يساوي الرقم (أو زوج من الأرقام) على اليسار. ابدأ بالجزء الموجود في أقصى يسار رقمك ، سواء كان زوجًا أو قيمة معزولة. حدد أكبر مربع كامل أصغر من أو يساوي هذا الرقم وخذ جذره التربيعي: يتم تمثيل هذه القيمة بواسطة. اكتبه في المساحة اليمنى العلوية واكتب مربعك في الربع الأيمن السفلي.
   • في المثال ، الجزء الموجود في أقصى اليسار هو الرقم. كما هو معروف ، من الممكن ذكر ذلك ، حيث إنها أكبر قيمة عدد صحيح يكون مربعها أقل من أو يساوي. اكتب في الربع العلوي - سيكون هذا هو أول مربع في النتيجة. ثم اكتب (مربع) في الربع الأيمن السفلي - ستكون هذه القيمة مهمة للخطوة التالية.

3. 

   طرح او خصم رقم الزوج المحسوب حديثًا على اليسار. كما هو الحال في القسمة المطولة ، فإن الخطوة التالية هي طرح المربع الموجود من الجزء الذي تمت دراسته للتو. اكتب هذه القيمة أسفل الجزء الأول وقم بالطرح المناسب ، اكتب الإجابة أدناه.
   • في المثال ، سيتم وضع أحدهم أسفل المثال من أجل إجراء عملية الطرح. الجواب هنا سيكون مساويا ل.

4. 

   إهبطْ إلى الزوجِ القادمِ. انقل الجزء التالي من رقم الدراسة لأسفل وبجوار القيمة المطروحة التي وجدتها للتو. ثم اضرب القيمة الموجودة في أعلى اليمين في واكتب الإجابة في الربع الأيمن السفلي. الآن فقط افصل مسافة لمسألة الضرب في الخطوة التالية:
   • في المثال ، الزوج التالي المتاح هو. فقط انظر إليه بالقرب من الربع السفلي الأيسر. ثم اضرب القيمة في واحصل عليها ، بحيث. اكتب في الزاوية اليمنى السفلى ، متبوعًا بـ.

5. 

   املأ الفراغات في الربع الأيمن. سيكون لكل منهم الآن نفس العدد الصحيح. يجب أن يكون هو الأكبر الذي يسمح أن تكون نتيجة الضرب على اليمين أقل من أو تساوي الرقم الموجود الآن على اليسار.
   • في المثال ملء الفراغات بالنتيجة :. هذه قيمة أكبر من. بهذه الطريقة ، إنها كبيرة جدًا ، لكنها على الأرجح ستفعل. اكتب في الفراغات وتابع: تم التأكيد على أنه يلبي الحاجة لأنه ، ثم اكتب الرقم في الربع الأيمن العلوي.هذا هو المربع الثاني في الجذر التربيعي لـ.

6. 

   اطرح القيمة المحسوبة من الرقم الموجود الآن على اليسار. استمر في الطرح بنفس أسلوب القسمة المطولة. خذ نتيجة مسألة الضرب في الربع الأيمن واطرحها من القيمة الموجودة الآن في الجانب الأيسر ، مع وضع إجابتك في الأسفل مباشرةً.
   • في المثال ، سيتم طرحه من ، مما ينتج عنه.

7. 

   كرر الخطوة 4. قم بالتمرير لأسفل إلى الجزء التالي من الرقم الذي يتم حساب جذره التربيعي. عندما تصل إلى الفاصلة ، اكتب رقمًا عشريًا في الإجابة في الربع العلوي الأيمن. بعد ذلك ، اضرب القيمة الموجودة في أعلى اليمين في واكتب العملية باللون الأبيض () كما سبق.
   • في المثال ، حيث يتم الوصول إلى الفاصلة الآن ، اكتبها مباشرةً بعد الإجابة الحالية في أعلى اليمين. ثم انزل الزوج التالي () في الربع الأيسر. بالضرب في القيمة الموجودة في أعلى اليمين () ، تحصل على - اكتب في الربع الأيمن السفلي.

8. 

   كرر الخطوتين 5 و 6. ابحث عن أكبر قيمة عشرية قادرة على ملء الفراغات الموجودة على اليمين والتي تعطي نتيجة أقل من أو تساوي الرقم الموجود حاليًا على اليسار. ثم انتقل إلى المشكلة.
   • في المثال ، وهو أقل من أو يساوي الرقم الموجود على اليسار (). مع ملاحظة ذلك ، وهو مرتفع جدًا ، توصل إلى استنتاج مفاده أنه هو الإجابة التي تبحث عنها. اكتبه على أنه المكان العشري التالي في الربع الأيمن العلوي واطرح نتيجة ضرب الرقم الموجود على اليسار:

9. 

   استمر في حساب المنازل العشرية. أسقط زوجًا من الأصفار إلى اليسار وكرر الخطوات 4, 5 و 6. لمزيد من الدقة ، استمر في تكرار العملية حتى تجد المئات والألف وما إلى ذلك في إجابتك. استمر في هذه الدورة حتى تصل إلى النتيجة في المكان العشري المطلوب.

فهم العملية

1. 

   حدد الرقم الذي سيتم حساب جذره التربيعي على أنه مساحة مربع. نظرًا لأن هذه المنطقة لها معادلة ، حيث تمثل طول أحد أضلاعها ، عند محاولة إيجاد الجذر التربيعي لقيمتها ، فإنك تحاول حساب طول المربع المعني.

2. 

   حدد المتغيرات لكل منزلة عشرية في إجابتك. اضبط المتغير ليكون أول منزلة عشرية لـ (يتم حساب الجذر التربيعي) ، ليكون الثاني ، والثالث ، وهكذا.

3. 

   قم بتعيين متغيرات أبجدية لكل جزء من رقم البداية. اربط المتغير بالزوج الأول من المنازل العشرية في (القيمة الأولية) ، والزوج الثاني من المنازل العشرية ، وهكذا.

4. 

   افهم علاقة هذه الطريقة بالقسمة المطولة. هذه الطريقة في حساب الجذر التربيعي هي في الأساس مسألة قسمة مطولة تقسم رقم البداية على جذره التربيعي ، إعطاء جذرها التربيعي ردا على ذلك. كما هو الحال مع مسائل القسمة المطولة ، حيث يتم توجيه الفائدة إلى منزلة عشرية واحدة في كل مرة ، هنا يجب أن تركز على اثنين في كل مرة (والتي تتوافق مع خانة الجذر التربيعي التالية)

5. 

   أوجد أكبر عدد يكون مربعه أصغر من أو يساوي. يمثل الخانة العشرية الأولى في الإجابة أكبر عدد صحيح لا يتجاوز مربعه (هكذا). في المثال ، وهكذا.
   • في أحد الأمثلة ، إذا أردت القسمة باستخدام طريقة القسمة المطولة ، فستكون الخطوة الأولى مماثلة: يجب أن تبحث عن الرقم الأول () وتجد أكبر عدد صحيح ينتج عنه ، عند ضربه في ، شيء أقل من أو يساوي. في الأساس ، يتعلق الأمر بإيجاد هذا الطريق. في هذه الحالة ، سيكون مساويًا لـ.

6. 

   تصور المربع الذي تريد حساب مساحته. سيتم تمثيل الإجابة ، وهي الجذر التربيعي لرقم البداية ، بواسطة ، والتي تصف طول مربع المساحة (رقم البداية). قيم وتمثل المنازل العشرية الموجودة في. هناك طريقة أخرى لوضع هذا التعريف وهي توضيح ذلك ، في حالة وجود إجابة مكونة من منزلتين عشريتين ، في حالة وجود إجابة مكونة من ثلاث منازل عشرية ، وهكذا.
   • في المثال. تذكر أنها تمثل الإجابة بالوحدات والعشرات. على سبيل المثال ، سوف ينتج عنه الرقم. إذا كان يمثل مساحة المربع ، فإنه يمثل مساحة أكبر مربع داخلي ، ويمثل مساحة أصغر مربع داخلي ويمثل مساحة كل من المستطيلات المتبقية. عند إجراء هذه العملية الطويلة والمعقدة ، سيكون لديك مساحة مربعة كاملة في متناول اليد ، فقط قم بإضافة المساحات المحسوبة من المربعات والمستطيلات بالداخل.

7. 

   اطرح من. قم بإسقاط زوج () من المنازل العشرية. يمثل التعبير تقريبًا مساحة المربع بالكامل ، والتي تم طرح أكبر مربع داخلي منها. الباقي ، بدوره ، يمكن تمثيله من خلال ما تم الحصول عليه في الخطوة 4 (في المثال أعلاه). هنا (مساحة كلا المستطيلين زائد مساحة المربع الأصغر).

8. 

   ابحث عن ، مكتوب أيضًا باسم. في المثال ، أنت تعرف بالفعل () و () ، ومن الضروري الآن حساب قيمة. من المحتمل ألا تكون قيمة عدد صحيح ، لذلك تحتاج إلى ذلك هل حقا احسب أكبر احتمال كامل يلبي الشرط. أخيرًا ، ستترك مع.

9. 

   حل العملية. للمتابعة ، اضرب في ، غيّر موضع العشرات (ما يعادل ضرب القيمة في) ، ضعها في موضع الوحدات واضرب الناتج في. بمعنى آخر ، فقط قم بإجراء العملية. هو نفسه عند الكتابة (يجري) في الربع الأيمن السفلي الموجود في الخطوة 4. موجودة مسبقا الخطوة الخامسة، بالمقابل ، ستجد أكبر قيمة عدد صحيح تتناسب مع المساحة الفارغة وتفي بالشرط.

10. 

    اطرح المساحة من المساحة الكلية. ينتج عن هذا المساحة التي تم تجاهلها حتى الآن (والتي سيتم استخدامها لحساب المربعات التالية بطريقة مماثلة).

11. 

    لحساب المكان العشري التالي ، كرر العملية ببساطة. قم بالتمرير لأسفل إلى الزوج التالي () من للوصول إلى اليسار وابحث عن أعلى قيمة تفي بالشرط (أي ما يعادل كتابة ضعف القيمة مع منزلتين عشريتين مصحوبة. ابحث عن أعلى قيمة عشرية ممكنة في الفراغات التي تؤدي إلى نتيجة أقل من أو تساوي ، كما كان من قبل.

نصائح

• تعمل هذه الطريقة مع أي قاعدة - وليس فقط القاعدة (العشرية).
• في المثال ، يمكن اعتبار "الراحة":
  
• طريقة بديلة تستخدم الكسور المستمرة تتبع هذه الصيغة:
  
  في أحد الأمثلة ، لحساب الجذر التربيعي لـ ، فإن العدد الصحيح الذي يتطابق مربعه مع رقم البداية هو ، لذلك ، e. عند إدخال القيم في الصيغة وتقريب التقدير ، فإنه يجلب بالفعل النتيجة (القيم الدنيا) ، أو تقريبًا (). سيكون المصطلح التالي ، أو تقريبًا (). يضيف كل مصطلح إضافي ثلاثة منازل عشرية تقريبًا من الدقة فيما يتعلق بالمحاولة السابقة.

تحذيرات

• تذكر أن تفصل بين المنازل العشرية في أزواج من الفاصلة. فصل كيف ، على سبيل المثال ، سيؤدي إلى نتائج غير مجدية.