المحتوى

• خطوات
• نصائح

غالبًا ما يحتاج علماء الرياضيات ومبرمجو الرسومات إلى إيجاد الزاوية بين متجهين. لحسن الحظ ، لا تتطلب الصيغة المستخدمة لحساب هذه الزاوية أكثر من منتج قياسي بسيط. على الرغم من سهولة فهم المنطق الكامن وراء هذه الصيغة عند استخدام متجهات ثنائية الأبعاد ، إلا أنه يمكننا بسهولة تكييفها مع المتجهات التي تحتوي على أي عدد من المكونات.

خطوات

جزء 1 من 2: احسب الزاوية بين متجهين

1. 

   حدد المتجهين. اكتب كل المعلومات المعروفة عن المتجهين. لغرض هذا البرنامج التعليمي ، سنفترض أنك تعرف المتجهات فقط من حيث إحداثيات أبعادها (تسمى أيضًا المكونات). إذا كنت تعرف بالفعل وحدة أو اساسي من هذه المتجهات (أي طولها) ، يمكنك تخطي بعض الخطوات أدناه.
   • مثال: سننظر في المتجهات ثنائية الأبعاد = (2،2) و = (0،3). يمكن إعادة كتابة هذين المتجهين كـ = 2أنا + 2ي ه = 0أنا + 3ي = 3ي.
   • على الرغم من أن مثالنا يستخدم متجهين ثنائي الأبعاد ، يمكننا تطبيق الإرشادات التالية على المتجهات التي تحتوي على أي عدد من المكونات.

2. 

   
   
   اكتب صيغة جيب التمام. لإيجاد قيمة الزاوية θ بين أي متجهين ، علينا أولاً حساب جيب التمام لتلك الزاوية. يمكنك البحث ومعرفة الصيغة بالتفصيل أو ببساطة كتابتها كما هي أدناه:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| يمثل وحدة (أو طول) المتجه ".
   • • يمثل منتج عددي (أو المنتج الداخلي) من المتجهين.

3. 

   
   
   احسب معامل كل متجه. تخيل مثلث قائم الزاوية يتكون من المكون x للناقل ، مكونه ذ والناقل نفسه. في هذا المثلث ، يلعب المتجه دور الوتر ؛ لذلك ، لإيجاد طوله ، سنطبق نظرية فيثاغورس. نتيجة لذلك ، هذه الصيغة قابلة للتطبيق بسهولة على المتجهات مع أي عدد من المكونات.
   • || u || = ش₁ + ش₂. إذا كان المتجه يحتوي على أكثر من مكونين ، فاستمر في إضافة + u₃ + ش₄ +...
   • لذلك ، بالنسبة لمتجه ثنائي الأبعاد ، علينا أن نفعل ذلك || u || = √ (ش₁ + ش₂).
   • في مثالنا ، |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   احسب حاصل الضرب القياسي بين المتجهين. يجب أن تعرف بالفعل طريقة ضرب المتجهات ، وتسمى أيضًا منتج عددي. لحساب الناتج القياسي لمتجهين من حيث مكوناتهما ، نضرب المكونات في نفس الاتجاه مع بعضها البعض ثم نضيف نتائج تلك النواتج.
   • إذا كنت تعمل مع برامج رسومات الكمبيوتر ، قم أولاً بزيارة قسم "النصائح" قبل المتابعة.
   • من الناحية الرياضية ، • = u₁الخامس₁ + ش₂الخامس₂، حيث u = (u₁، ش₂). إذا كان المتجه يحتوي على أكثر من مكونين ، فما عليك سوى الاستمرار في إضافة + u₃الخامس₃ + ش₄الخامس₄...
   • في مثالنا ، • = u₁الخامس₁ + ش₂الخامس₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. هذه هي قيمة المنتج القياسي بين المتجهات و.

5. 

   عوّض بهذه النتائج في صيغة جيب التمام. تذكر ، cosθ = (•) / (|||| || ||). لقد قمنا بالفعل بحساب المنتج القياسي والوحدة النمطية للمتجهين. الآن ، دعنا نستبدل هذه القيم في الصيغة ونحسب جيب تمام الزاوية.
   • في مثالنا ، cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   أوجد الزاوية بناءً على جيب التمام.
   استخدم القوس أو دالة جيب التمام في الآلة الحاسبة لتحديد الزاوية θ من قيمة جيب التمام. في بعض الحالات ، قد تتمكن من إيجاد قيمة الزاوية بناءً على دائرة الوحدة.
   • في مثالنا ، cosθ = √2 / 2. اكتب "arccos (√2 ​​/ 2)" في الآلة الحاسبة لإيجاد الزاوية. خيار آخر هو البحث عن الزاوية θ لدائرة الوحدة حيث cosθ = √2 / 2: سيكون هذا صحيحًا من أجل θ = /₄ أو 45 درجة.
   • بتجميع كل المعلومات معًا ، سيكون لدينا الصيغة النهائية θ = arccosine ((•) / (|||| || ||))

جزء 2 من 2: تحديد معادلة حساب الزاوية

1. 

   افهم الغرض من الصيغة. لم تكن الصيغة التي استخدمناها لحساب الزاوية بين متجهين مشتقة من القواعد الموجودة مسبقًا ؛ بدلاً من ذلك ، تم إنشاؤه كتعريف للمنتج القياسي بين متجهين والزاوية بينهما. ومع ذلك ، فإن هذا القرار ليس تعسفيا. بإلقاء نظرة فاحصة على الهندسة الأساسية ، يمكننا أن نرى لماذا ينتج عن هذه الصيغة مثل هذه التعريفات المفيدة والبديهية.
   • تستخدم الأمثلة التالية المتجهات ثنائية الأبعاد لأنها أكثر الأنواع سهولة في التعامل معها. يتم تحديد خصائص المتجهات ذات الأبعاد الثلاثة أو أكثر من الصيغة العامة (أيضًا بطريقة مشابهة جدًا).

2. 

   راجع قانون جيب التمام. في أي مثلث ، ضع في اعتبارك الزاوية θ المكونة من الجانبين ال و ب والجانب ç مقابل تلك الزاوية. وفقًا لقانون جيب التمام ، c = a + b -2abحزام(θ). يمكن الحصول على مظاهرة هذه الصيغة بسهولة من معرفة الهندسة الأساسية.

3. 

   قم بتوصيل المتجهين لتشكيل مثلث. ارسم زوجًا من المتجهات ، مع وضع زاوية θ بينهما. ثم ارسم متجهًا ثالثًا بينهما لتشكيل مثلث. بمعنى آخر ، ارسم المتجه مثل + = ، أو ببساطة = -.

4. 

   طبق قانون جيب التمام على هذا المثلث. استبدل طول أضلاعنا مثلث متجه (أي ، وحدة المتجه) في صيغة قانون جيب التمام:
   • || (أ - ب) || = || أ || + || ب || - 2 || أ || || ب ||حزام(θ)

5. 

   أعد كتابة الصيغة باستخدام المنتجات العددية. تذكر أن حاصل الضرب النقطي هو تكبير أحد المتجهات المسقطة على الآخر. لا يتطلب المنتج القياسي للمتجه نفسه إسقاطًا لأنه لا يوجد تغيير في الاتجاه. هذا يعني أن • = || a ||. بناءً على هذه المعلومات ، دعنا نعيد كتابة معادلة قانون جيب التمام:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || ب ||حزام(θ)

6. 

   بسّط الصيغة. قم بفك حاصل الضرب في الجانب الأيسر من المعادلة ثم قم بتبسيطها حتى تصل إلى الصيغة التي نعرفها لحساب الزوايا.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || ب ||حزام(θ)
   • - • - • = -2 || a || || ب ||حزام(θ)
   • -2 (•) = -2 || أ || || ب ||حزام(θ)
   • • = || a || || ب ||حزام(θ)

نصائح

• للحصول على حل سريع ، قم بتطبيق الصيغة التالية على أي زوج متجه ثنائي الأبعاد: cosθ = (u₁ • الخامس₁ + ش₂ • الخامس₂) / (√ (u₁ • ش₂) • √ (v₁ • الخامس₂)).
• إذا كنت تعمل باستخدام برامج رسومات الكمبيوتر ، فستحتاج على الأرجح إلى معرفة اتجاه المتجهات فقط ، وليس طولها. اتبع الخطوات أدناه لتبسيط المعادلات وتسريع برنامجك:
  • قم بتطبيع كل متجه ، أي ابحث عن متجه الوحدة الذي له نفس اتجاه المتجه الأصلي. للقيام بذلك ، قسّم كل مكون من مكونات المتجه على وحدة المتجه.
  • احسب الناتج القياسي للمتجهات التي تمت تسويتها ، وليس المتجهات الأصلية.
  • نظرًا لأن مقياس المتجهات المقيسة (أي الطول) موحد ، يمكننا تركها خارج الصيغة. ستكون معادلتك النهائية لحساب الزوايا هي الأقواس (•).
• استنادًا إلى صيغة قانون جيب التمام ، يمكننا بسرعة معرفة ما إذا كانت الزاوية المعنية حادة أم منفرجة. ابدأ بـ cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • يجب أن يكون للجانبين الأيسر والأيمن من المعادلة نفس العلامة (موجبة أو سلبية).
  • نظرًا لأن الأطوال تكون دائمًا موجبة ، سيكون لـ cosθ دائمًا نفس علامة المنتج القياسي.
  • لذلك ، إذا كان الناتج القياسي موجبًا ، فسيكون cosθ موجبًا. هذا يعني أن الزاوية تقع في الربع الأول من دائرة الوحدة ، أي θ </ 2 أو 90 درجة. لذلك ، الزاوية حادة.
  • إذا كان الناتج القياسي سالبًا ، يكون cosθ سالبًا. هذا يعني أن الزاوية تقع في الربع الثاني من دائرة الوحدة ، أي π / 2 <≤ π أو 90 درجة <≤ 180 درجة. لذلك ، الزاوية منفرجة.